题

唐僧现有一个魔法袋以及相等数量的包子和馒头，每次把包子、馒头放入魔法袋以后念咒语，包子会变成2倍，馒头会变成3倍。
首先唐僧将所有的包子和馒头放入魔法袋中念咒语后取出，分一部分给孙悟空（包子、馒头至少各1个）；再将剩下的所有包子、馒头放入魔法袋中念咒语后取出，分一部分给猪八戒；再将剩下的所有包子、馒头放入魔法袋中念咒语，所有包子、馒头都给了沙和尚。
结果是分给三个徒弟的包子一样多，馒头也一样多。
问：每个徒弟至少各得多少个包子？

解析

假设每个人的包子数为 a, 馒头数为 b。

我们倒推：

1. 沙僧：最后一次魔法袋变出的全给他。
   设放入前包子 $p$、馒头 $m$，变后为 $2p$、$3m$，全给沙僧。
   所以 $2p = a$（每人包子数），$3m = b$（每人馒头数）
   → $p = a/2$，$m = b/3$，所以 $a$ 是偶数，$b$ 是 3 的倍数。

2. 八戒：第二次变出后，他拿 $a$ 个包子、$b$ 个馒头，剩下 $p, m$ 给第三次。
   设第二次变前包子 $p_2$、馒头 $m_2$，变后为 $2p_2$、$3m_2$。
   八戒拿完后剩 $p, m$：
   $2p_2 - a = p = a/2 \quad\Rightarrow\quad 2p_2 = \frac{3a}{2} \quad\Rightarrow\quad p_2 = \frac{3a}{4}$
   $3m_2 - b = m = b/3 \quad\Rightarrow\quad 3m_2 = \frac{4b}{3} \quad\Rightarrow\quad m_2 = \frac{4b}{9}$
   所以 $a$ 是 4 的倍数，$b$ 是 9 的倍数。

3. 悟空：第一次变前包子馒头相等，设都为 $x$。
   变后为 $2x$ 包子、$3x$ 馒头，悟空拿 $a$ 个包子、$b$ 个馒头，剩 $p_2, m_2$ 给第二次：
   $2x - a = p_2 = \frac{3a}{4} \quad\Rightarrow\quad 2x = \frac{7a}{4} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{7a}{8}$
   $3x - b = m_2 = \frac{4b}{9} \quad\Rightarrow\quad 3x = \frac{13b}{9} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{13b}{27}$
   所以：
   $\frac{7a}{8} = \frac{13b}{27} \quad\Rightarrow\quad 189a = 104b$
   求最小正整数解：$a = 104$，$b = 189$。