这是一个非常核心的数学概念，来自于 比例。

“内项积 = 外项积” 是比例的一个基本性质，也常被称为 交叉相乘法 或 比例的基本性质。

1. 首先，理解什么是“内项”和“外项”

在一个比例式中，比如：
a : b = c : d
（读作 “a 比 b 等于 c 比 d”）

这四个数有特定的名称：

• a 和 d 叫做 外项，因为它们处在比例式的两端。
• b 和 c 叫做 内项，因为它们处在比例式的中间。

  外项    内项
   ↓       ↓
   a   :   b   =   c   :   d
                   ↑       ↑
                  内项    外项

2. “内项积 = 外项积” 是什么意思？

这个性质指出：在任何一个比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。

用上面的例子就是：
a × d = b × c

为什么这个性质成立？
我们可以从比例的基本定义来推导。比例 a : b = c : d 意味着分数 a/b 和 c/d 是相等的。

a / b = c / d

为了解这个方程，我们可以两边同时乘以 b 和 d 来消去分母：

1. 两边同时乘以 b： a = (c × b) / d
2. 两边再同时乘以 d： a × d = b × c

看！我们就得到了 a × d = b × c。

3. 这个性质有什么用？（非常重要）

这个性质是解决比例问题最强大的工具之一，主要有三大用途：

用途一：判断两个比是否能组成比例

问题： 判断 6 : 10 和 9 : 15 是否能组成比例？
解答：

1. 假设它们能组成比例：6 : 10 = 9 : 15
2. 计算 内项积：10 × 9 = 90
3. 计算 外项积：6 × 15 = 90
4. 因为内项积等于外项积（90 = 90），所以这两个比可以组成比例。

用途二：解比例方程（求未知数）

这是最常见的用途。比如：
问题： 解比例 x : 3 = 8 : 12
解答：

1. 写出比例式：x / 3 = 8 / 12
2. 运用“内项积 = 外项积”： x × 12 = 3 × 8
3. 计算得出： 12x = 24
4. 解得： x = 24 / 12 = 2

用途三：解决实际问题

问题： 小明买5个苹果花了20元，照这样计算，买8个同样的苹果需要多少钱？
解答：

1. 设买8个苹果需要 x 元。
2. 因为单价相同，所以价格与数量成正比，可以列出比例：5个 : 20元 = 8个 : x元
3. 运用“内项积 = 外项积”： 5 × x = 20 × 8
4. 计算： 5x = 160
5. 解得： x = 32 元

总结

“内项积 = 外项积” 是比例的一个决定性性质。

• 形式： 如果 a : b = c : d，那么 a × d = b × c。
• 本质： 它源于相等的分数在交叉相乘后依然相等。
• 应用： 它是判断比例是否成立、求解比例未知数和解决各种正比例实际问题的基石。