问题分解

我们需要计算 $24 \times 25$ 的乘积的因数总数，并分别求出其中的偶因数和奇因数的数量。具体步骤如下：

1.计算 $24 \times 25$ 的乘积。
2.对乘积进行质因数分解。
3.利用质因数分解计算因数的总数。
4.分别计算偶因数和奇因数的数量。

第一步：计算

首先计算 $24 \times 25$：

$24 \times 25 = (20 + 4) \times 25 = 20 \times 25 + 4 \times 25 = 500 + 100 = 600$

所以，$24 \times 25 = 600$。

第二步：对600进行质因数分解

接下来，我们对600进行质因数分解：

1. 600 ÷ 2 = 300
2. 300 ÷ 2 = 150
3. 150 ÷ 2 = 75
4. 75 ÷ 3 = 25
5. 25 ÷ 5 = 5
6. 5 ÷ 5 = 1

因此，600的质因数分解为：

$600 = 2^3 \times 3^1 \times 5^2$

第三步：计算因数的总数

根据因数总数的公式，如果一个数的质因数分解为 $p^a \times q^b \times r^c \times \ldots$，那么它的因数总数为 $(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ldots$。

对于600 = $2^3 \times 3^1 \times 5^2$：

• 2的指数是3 → 3 + 1 = 4
• 3的指数是1 → 1 + 1 = 2
• 5的指数是2 → 2 + 1 = 3

因此，因数的总数为：

$4 \times 2 \times 3 = 24$

600共有24个因数。

第四步：计算偶因数和奇因数的数量

偶因数

偶因数是指能被2整除的因数。因此，偶因数必须至少包含一个2的因子。我们可以从600的质因数分解中“固定”至少一个2，然后计算剩余部分的因数数量。

600 = $2^3 \times 3^1 \times 5^2$

要得到偶因数，至少有一个2：

• 2的幂可以选择：1, 2, 3（即 ( 2^1, 2^2, 2^3 )）→ 3种选择
• 3的幂可以选择：0, 1 → 2种选择
• 5的幂可以选择：0, 1, 2 → 3种选择

因此，偶因数的数量为：

$3 \times 2 \times 3 = 18$

600共有18个偶因数。

奇因数

奇因数是指不能被2整除的因数，即不包含2的因子。因此，我们只需要考虑不包含2的部分的因数数量。

600 = $2^3 \times 3^1 \times 5^2$

奇因数不包含2：

• 2的幂只能选择0 → 1种选择
• 3的幂可以选择：0, 1 → 2种选择
• 5的幂可以选择：0, 1, 2 → 3种选择

因此，奇因数的数量为：

$1 \times 2 \times 3 = 6$

600共有6个奇因数。

验证

我们可以验证一下偶因数和奇因数的数量之和是否等于总因数数量：

这与我们之前计算的总因数数量一致，因此我们的计算是正确的。