第一步：理解因数的定义

首先，我需要明确什么是因数。因数是指能够整除一个数的整数。换句话说，如果一个数 ( a ) 能被另一个数 ( b ) 整除（即 ( a \div b ) 没有余数），那么 ( b ) 就是 ( a ) 的因数。例如，6的因数有1, 2, 3, 6，因为：

  • 6 ÷ 1 = 6
  • 6 ÷ 2 = 3
  • 6 ÷ 3 = 2
  • 6 ÷ 6 = 1

第二步：寻找1716的所有因数

为了找出1716的所有因数，我可以采用以下方法：

  1. 质因数分解：将1716分解为质数的乘积，然后利用公式计算因数的总数。
  2. 列举法：从1开始逐个尝试，列出所有因数。然而，对于较大的数如1716，这种方法效率较低，因此更推荐使用质因数分解法。

第三步：质因数分解1716

让我们将1716分解为质数的乘积：

  1. 首先检查是否能被2整除（最小的质数）：
    • 1716 ÷ 2 = 858 → 1716 = 2 × 858
  2. 继续分解858：
    • 858 ÷ 2 = 429 → 858 = 2 × 429 → 1716 = 2 × 2 × 429 = ( 2^2 \times 429 )
  3. 分解429：
    • 429 ÷ 3 = 143 → 429 = 3 × 143 → 1716 = ( 2^2 \times 3 \times 143 )
  4. 分解143：
    • 143 ÷ 11 = 13 → 143 = 11 × 13 → 1716 = ( 2^2 \times 3 \times 11 \times 13 )

因此，1716的质因数分解为：
1716=22×31×111×131 1716 = 2^2 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1

第四步：计算因数的总数

根据数论中的一个定理，如果一个数的质因数分解为：
n=p1a×p2b×p3c×… n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times \ldots
那么它的因数的总数可以通过以下公式计算：
因数总数=(a+1)(b+1)(c+1)… \text{因数总数} = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \ldots

对于1716 = 22×31×111×131 2^2 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1 ：

  • 2的指数是2 → 2 + 1 = 3
  • 3的指数是1 → 1 + 1 = 2
  • 11的指数是1 → 1 + 1 = 2
  • 13的指数是1 → 1 + 1 = 2

因此，因数的总数为：
3×2×2×2=24 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 24

第五步：验证

为了确保我们的答案正确，可以尝试列举部分因数来验证：

1716的因数包括：

1.由 20×30×110×130=1 2^0 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^0 = 1
2.由 21×30×110×130=2 2^1 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^0 = 2
3.由 22×30×110×130=4 2^2 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^0 = 4
4.由 20×31×110×130=3 2^0 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^0 = 3
5.由 21×31×110×130=6 2^1 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^0 = 6
6.由 22×31×110×130=12 2^2 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^0 = 12
7.由 20×30×111×130=11 2^0 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^0 = 11
8.由 21×30×111×130=22 2^1 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^0 = 22
9.由 22×30×111×130=44 2^2 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^0 = 44
10.由 20×31×111×130=33 2^0 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^0 = 33
11.由 21×31×111×130=66 2^1 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^0 = 66
12.由 22×31×111×130=132 2^2 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^0 = 132
13.由 20×30×110×131=13 2^0 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^1 = 13
14.由 21×30×110×131=26 2^1 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^1 = 26
15.由 22×30×110×131=52 2^2 \times 3^0 \times 11^0 \times 13^1 = 52
16.由 20×31×110×131=39 2^0 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^1 = 39
17.由 21×31×110×131=78 2^1 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^1 = 78
18.由 22×31×110×131=156 2^2 \times 3^1 \times 11^0 \times 13^1 = 156
19.由 20×30×111×131=143 2^0 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^1 = 143
20.由 21×30×111×131=286 2^1 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^1 = 286
21.由 22×30×111×131=572 2^2 \times 3^0 \times 11^1 \times 13^1 = 572
22.由 20×31×111×131=429 2^0 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1 = 429
23.由 21×31×111×131=858 2^1 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1 = 858
24.由 22×31×111×131=1716 2^2 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1 = 1716

确实列出了24个因数，与之前的计算结果一致。

第六步：总结

通过质因数分解的方法：

  1. 将1716分解为质数的乘积：$$ 2^2 \times 3^1 \times 11^1 \times 13^1 $$。
  2. 应用因数总数公式：$$ (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 $$。

因此，1716共有24个因数。

最终答案

1716共有24个因数。