“并矢”是一个数学和物理学中的术语，通常用于描述一种特殊的张量形式。

以下是关于“并矢”的详细解释：

1. 定义

并矢（Dyadic）是由两个向量的并置（即外积）形成的二阶张量。

二阶 的理解：
在数学和物理学中，“二阶张量” 的 “二阶” 指的是张量的阶数（Rank），表示张量的维数或自由度的数量。具体来说：
I. 张量的阶数
零阶张量：标量（Scalar），没有方向，只有一个数值。例如，温度、质量等。
一阶张量：向量（Vector），有大小和方向。例如，力、速度等。
二阶张量：矩阵（Matrix），有两个方向或两个自由度。例如，应力张量、应变张量等。
高阶张量：三阶及以上的张量，有更多的自由度。例如，三阶张量可以表示为一个三维数组。
II. 二阶张量的含义
二阶 表示张量需要两个索引（indices）来描述其分量。
例如，一个二阶张量 T\mathbf{T} 可以表示为一个矩阵：

T=[T11T12T13T21T22T23T31T32T33] \mathbf{T} = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{bmatrix}

其中，TijT_{ij} 表示张量在第 ii 行第 jj 列的分量。

对于两个向量 u\mathbf{u} 和 v\mathbf{v}，它们的并矢记作 u⊗v\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 或 uv\mathbf{u} \mathbf{v}。

2. 数学表示

在三维空间中，两个向量 u=(u1,u2,u3)\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) 和 v=(v1,v2,v3)\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) 的并矢可以表示为一个 3×33 \times 3 的矩阵：

u⊗v=[u1v1u1v2u1v3u2v1u2v2u2v3u3v1u3v2u3v3] \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \end{bmatrix}

3. 名称来源

  • “并”：表示两个向量的并置或组合。
  • “矢”：指的是向量（Vector）（有的教材叫 矢量）。
    因此，“并矢”可以理解为两个向量的并置或组合形成的张量。

4. 应用

  • 物理学：在物理学中，并矢用于描述应力、应变等张量量。
    例如，应力张量可以表示为不同方向上的力向量的并矢组合。
  • 流体力学：在流体力学中，并矢用于描述流体中的应力分布。
  • 电磁学：在电磁学中，并矢格林函数用于描述电磁场的传播。

5. 示例

假设有两个向量 u=(1,2,3)\mathbf{u} = (1, 2, 3) 和 v=(4,5,6)\mathbf{v} = (4, 5, 6)，它们的并矢为：

u⊗v=[1⋅41⋅51⋅62⋅42⋅52⋅63⋅43⋅53⋅6]=[45681012121518]\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 4 & 1 \cdot 5 & 1 \cdot 6 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}

总结

“并矢”是由两个向量的并置形成的二阶张量，广泛应用于物理学和工程学中。其名称来源于两个向量的并置组合，用于描述复杂的物理现象和数学关系。