估计学工程数学的人刚开始对 或多或少都会有一些疑问，因为虚数次方实在是太邪乎了，但如果不把这些个疑问搞清楚，你对工程数学的各种推导始终会有一个心结，我说的没错吧？早年我也被这个 搞得一愣一愣的，后来才终于明白了在复数域 不是代表 ，而是 ，在复数域上它是一个定义！
请仔细阅读wikipedia上（貌似最近又被墙了，不知道那帮人咋想的，唉）关于指数函数的介绍 Exponential function。
重要：exp(z)是一个定义式！！！！！
从上面的定义，复数的k次方好理解，得出右边
从而得出著名的 exp(it) = cos(t) + i sin(t)。
Term-wise multiplication of two copies of these power series in the Cauchy sense, permitted by Mertens’ theorem, shows that the defining multiplicative property of exponential functions continues to hold for all complex arguments:
就是说神奇的地方在于，根据上面那个定义式，居然同样满足exp(w+z)=exp(w)exp(z) 等其他那些运算法则。当然这些运算法则是要在定义式的前提下加以证明了的。所以欧拉公式虽然从定义出发，但是其运算在推导中是很严谨的，由虚数 以及exp(z)这两者的定义推导出了运算法则。
wiki上指出也是一个定义式，但用(x+iy)代入exp(z)本身的定义应该能得到后面的结果。
我猜测当初欧拉是把虚数代入到指数函数exp(x)的定义式，即泰勒展开式，最终得到了结果，并发现了它的神奇之处。在指数域exp(z)只是一个符号（代表了它的定义）仅此而已。