无穷小比阶

分析：

关于“无穷小阶数的比较”，或者“让确定无穷小究竟是几阶”?
本质：让求”$\frac{0}{0}$”型的一种极限。

主要方法：

那么本标题解题的主要方法，就转化为求”$\frac{0}{0}$”型极限的主要方法：
等价代换、洛必达法则、泰勒公式、无穷小自己的一些运算法则。

1、若$a \neq 0, k>0$,且$x \to 0$时, $f(x) \sim ax^k \Rightarrow x\to 0$ 时, f(x)是x的k阶无穷小;

2、若k>0,使$\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)}{x^k}} = c \neq 0$(常用洛必达) $\Rightarrow x\to 0$时,f(x)是x的k阶无穷小;

白话: 如果能找到一个正数k,使其极限不为0,往往用洛必达,那么我们依旧说是k阶无穷小;

3、若$f(x)=a_0+a_1x+…+a_{k-1}x^{k-1}+a_{k}x^{k}+a_{k+1}x^{k+1}+…,$ 其中$a_0=a_1=…=a_{k-1}=0$，但$a_k\neq 0 \Rightarrow x\to 0$时,f(x)是x的k阶无穷小；

白话：
对于泰勒公式,如果我们把f(x)给展开，然后发现下面的情况：
$a_0=a_1=…=a_{k-1}=0$是说f(x)前面这些系数都得0，但是k次方的系数不等于0，那么(k+1)次方及其后面的系数是否为0,我们就不关心啦.这个时候，我们就有理由下结论了：你是k阶无穷小！
即：按照泰勒公式展开，从左往右，第1次的系数不为0的那个次方决定了阶数！后面的不决定！