中值定理

一、确定区间

在数轴上标出所有可能用到的点，从而确定区间。

E.g ：

二、确定研究对象（辅助函数）

1、简单情形

题设$f(x)$即为辅助函数。

2、复杂情形

(1) 乘积求导公式逆用；

$(u\cdot v)'=u'v+uv' \Leftrightarrow u'v+uv'=(u\cdot v)'$

举例：
①$[f(x)\cdot f(x)]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)$
或
$[f^2(x)]'=2f(x) \cdot f'(x)$
记: 见到$f(x) \cdot f'(x) \Rightarrow$ 令$F(x)=f^2(x)$
E.g (2017’) 若$f(x)\cdot f'(x)>0 \Rightarrow [f^2(x)]'>0 \Rightarrow f^2(x) \nearrow \Rightarrow 1>-1$时,$\sqrt{f^2(1)}>\sqrt{f^2(-1)} \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|$

②$[f(x)\cdot f'(x)]' = [f'(x)]^2+f(x)f''(x)$
记：见到$(f')^2+f\cdot f'' \Rightarrow$ 令 $F(x)=f(x) \cdot f'(x)$

③$[f(x)\cdot e^{\varphi(x)}]' = f'(x)e^{\varphi(x)}+f(x)e^{\varphi(x)}\cdot \varphi'(x) = e^{\varphi(x)}[f'(x)+f(x)\cdot \varphi'(x)]$
注意:如果题目带入$\xi$,是上面的式子=0，那么你会发现$e^{\varphi(x)}$是指数函数,那么它恒>0，所以只有$f'(x)+f(x)\cdot \varphi'(x) = 0$.
记：见到$f'+f\cdot \varphi' \Rightarrow$, 令 $F(x) = f(x)e^{\varphi(x)}$
E.g：
A. 见到”$f'(x)+f(x)$” $\Rightarrow$ 令$F(x)=f(x)\cdot e^x$
例:$f'+f\cdot 1$
B. 见到”$f'(x)-f(x)$” $\Rightarrow$ 令$F(x)=f(x)\cdot e^{-x}$
例:$f'+f\cdot (-1)$
C. 见到”$f'(x)+(\frac{1}{2}-1)f(x)$” $\Rightarrow$ 令$F(x)=f(x)\cdot e^{lnx-x}$
D. 见到”$f'(x)+2f(x)$” $\Rightarrow$ 令$F(x)=f(x)\cdot e^{2x}$
E. 见到”$f'(x)+f''(x)tanx$”$\Rightarrow$ 令 $F(x)=f'(x)\cdot sinx$

④ $(uv)''=uv''+2u'v'+u''v$
E.g $f''(\xi)g(\xi)+2f'(x)g'(x)+f(\xi)g'(x)=0$
那么我们令$F(x)=f(x)\cdot g(x)$

(2) 商的求导公式逆用

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

E.g $f(2)-2f(1)=\xi f'(x)-f(\xi)$
分析后可知，令$F(x)=\frac{f(x)}{x}+\frac{f(2)-2f(1)}{x}$

题型：
① $(\frac{f(x)}{x})' = \frac{f'(x)\cdot x - f(x)}{x^2}$
E.g 假如：若$x>0, f'(x)\cdot x>f(x)$. 那么可以知道:$\Rightarrow \frac{f(x)}{x} \nearrow \Rightarrow b>a,\frac{f(b)}{b} > \frac{f(a)}{a} \Rightarrow af(b)>bf(a)$
② $[lnf(x)]'' = (\frac{f'(x)}{f(x)})' = \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{f(x)^2}$
E.g 假如：$f(x)>0, f(x)f''(x)-[f'(x)]^2 \geqslant 0$, 证明：$f(x_1)f(x_2) \geqslant f^2(\frac{x_1+x_2}{2})$
解: 令$F(x)=lnf(x)$

(3) 原函数定义 ★

见到$\int_a^bf(x)dx=A$，令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(b)=A$

即：见到定积分，最好能想到变上限积分；

E.g [68:43]
若$f(x)$连续，$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}f(x)tanxdx=0$，证明：$(-1,1)$内存在两个不同的$\xi_1,\xi_2$，使$f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$
解：令$F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt,$那么$F(-1)=0,F(1)=0$.
$F'(x)=f(x)$
$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$
$dF(x)=f(x)dx$
$\Rightarrow \int_{-1}^{1}tanxdF(x) = tanxF(x)|{-1}^{1} - \int{-1}^{1}F(x)sec^2xdx$
设F(x)在(-1,1)内再无零点，且大于0 $\Rightarrow \exists x_0\in(-1,1),$使$F(x_0)=0$.

3、更复杂时，题设给出F(x)或F(a)，亦可作为提示，让考生令F(x)为辅助函数

E.g
$\int_{0}^{\frac{1}{k}}xe^{1-x}f(x)dx \Rightarrow F(x)=xe^{1-x}f(x)$
$\int_{a}^{b}cos^2xf(x)dx \Rightarrow F(x)=cos^2xf(x)$
$f^2(0)+[f'(0)]^2=4 \Rightarrow F(x)=f^2(x)+[f'(x)]^2$

三、确定定理

Note: 主要用4个,其余用来辅助找点；

1、零点、介值定理

常用来“找”下面的点：
$f(c)=0, (f(a)>0,f(b)<0)$
$f(c)=\mu,$ ①$(m\leqslant \mu \leqslant M)$ 或②$(f(a)=A, f(b)=B. A<\mu<B)$

2、费马定理

常用于证明$f'(\xi)=0,\xi$一般是可导点或极值点(内部的最值点)；

3、罗尔定理

常用于：
1)证明$f'(\xi)=0, (f(a)=f(b))$

2)证明$f^n(\xi)=0,n\geqslant 2$ //即：通过画笑脸的方法来证明高阶导数=0;

下图为通过”笑脸”证明2阶导数的过程:

4、拉格朗日

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$,其中a,b为常数.

往往考试时为：
$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$

来源:
N-L公式：
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

常用于：
(1)题设中有$f , f'$的关系 或 $f-f$的关系;

E.g
假如：$U_n=f(n)$,问$U_2$和$U_1$的关系?
分析：$U_2=f(2), U_1=f(1)$，那么$U_2-U_1=f(2)-f(1)=f'(\xi)\cdot (2-1)=f'(\xi)$,
即最后看导数$f'(\xi)$大小即可.

(2)证$f'(\xi)>0$ 或 $f'(\xi)<0$; //证相等用罗尔，证不等用拉格朗日;

E.g 1
已知：$f(b)=f(a)$
证明：$f'(\xi)=0$
分析：因为$f(b)=f(a)$,所以由罗尔定理可以知道:$f'(\xi)=0$;
E.g 2
已知：$f(b)>f(a), b>a$
证明：$f'(\xi)>0$
分析：因为不等，所以由拉格朗日定理可知$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0$

(3)证$f^{(n)}(\xi)>0$ 或 $f^{(n)}(\xi)<0$ $n \geqslant 2$;

E.g 1
已知：$f(a)=f(b)=f(c)$
证明：$f''(\xi)=0$
分析：关系如下图所示：

E.g 2
已知：$f(a)<f(b)<f(c)$
证明：
分析：在(a,b)内任取一点$\xi_1$,那么$f'(\xi_1)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0$;//第1次拉格朗日
在(b,c)内任取一点$\xi_2$,那么$f'(\xi_2)=\frac{f(c)-f(b)}{c-b}<0$;//第2次拉格朗日
在$(\xi_1,\xi_2)$内任取一点$\xi$,那么$f'(\xi)=\frac{f(\xi_2)-f(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}<0$;//第3次拉格朗日
关系如下图所示：

(4)证 $F(f'(\xi),f'(\tau))=0$

E.g <高数十八讲>

5、泰勒公式

四、确定点的信息

1、用题设告知

例如 1： $f(a)=0$ //它隐身了，我看到了吗？答：没看到，复习到2点。

E.g

例如 2： $f''(x) >0 \Rightarrow f''(\xi)>0$;//由一般推出特殊，即知道了⑤；

2、用极限(连续、可导)的条件

(1) 连续的定义
$f(x_0)= lim_{x\to x_0}f(x)$

(2) 可导的定义
$f'(x_0)=lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

(3) 极限的保号性
$lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} >0 \Rightarrow f'(x_0)>0$
$lim_{x\to x_0}f(x) >0 \Rightarrow f(x_0)>0$

(4) 算极限

E.g

3、用积分确定点的信息

$\int_a^bf(x)dx=A$
(1）均值定义 ★
指：积分中值定理 $\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a),$其中$\xi$既可以取闭区间，也可以取开区间($\xi \in [a,b] or \xi \in (a,b)$均可直接使用，无需证明)；

理解积分中值定理的含义:

结论：

$\Rightarrow \overline{f}=f(\xi)=\frac{A}{b-a}$

通过该结论也可以确定出点$\xi$的值$f(\xi)$.

(2) 原函数定义 ★
令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$,则$F(a)=0, F(b)=A$

E.g
已知:$f(x)$连续，且$\int_{-1}{1}f(x)dx=\int_{-1}{1}f(x)tanxdx=0$;
证明:$f(\xi_1)=f(\xi_2)=0, \xi_1\neq \xi_2$;
分析：令$F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt$，则可知:$F(-1)=0$(根据我的定义，实际为从-1到-1，肯定积分为0了),$F(1)=0$(本例的已知条件),所以确定了两点$F(-1)=F(1)$;

(3) 保号性
$f(x)$在$[a,b]$上为非负($\geqslant 0$)连续且不恒为0$\Rightarrow \int_a^bf(x)dx>0$.

E.g 1:
<高数18讲> P135. E.g7.8
E.g 2: //2019
已知: $f(0)=0,f(1)=1,f(x)$连续且二阶可导；$\int_0^1f(x)dx=1$;
证明: $\exists \xi\in(0,1),$使$f'(\xi)=0$;
分析: $\int_0^1f(x)dx=1 \Rightarrow \int_0^1f(x)dx-1=0 \Rightarrow \int_0^1[f(x)-1]dx=0$ //目的：如果要利用保号性，那么就要和0比大小；
假设$f(x)\leqslant 1 \Rightarrow f(x)-1\leqslant 0,$且不恒为0. $\Rightarrow \int_0^1[f(x)-1]dx < 0$矛盾,$\Rightarrow \exists x_0,$使$f(x_0) >1$.根据费马定理可知:$f'(\xi)=0$.

保号(白话：在区间内，始终保持>0或始终保持<0 )：
1、F(x)在(-1,1)内再无零点，那么F(x)>0或F(x)<0(因为如果在区间内有正有负,那么一定会出现零点);

2、不保号（白话：在区间内不始终保持>0或始终<0),如果在(-1,1)内有零点，那么在区间内F(x)肯定有正有负；

(4) 算积分

<十八讲> E.g 5.4
已知：f(x)在[-a,a]上二阶导连续，$f(0)=0 \Rightarrow m\leqslant f''(x) \leqslant M$;
证明：$m \leqslant \frac{3}{a^3}\int_{-a}^{a}f(x)dx \leqslant M$
分析：根据泰勒公式,$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$,因为已知f(0)=0,所以等式两边同时取积分:
$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}f'(0)xdx+\int_{-a}^{a}\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx$
注意:$\int_{-a}^{a}xdx=0, \int_{0}^{2}(x-1)dx=0, \int_{0}^{4}(x-2)dx=0$
因为$m\leqslant f''(x) \leqslant M \Rightarrow m\leqslant f''(\xi) \leqslant M\Rightarrow \frac{m}{2}\leqslant \frac{f''(\xi)}{2} \leqslant \frac{M}{2}$,根据上面分析可知同时积分:$\frac{a^3}{3}m=\frac{m}{2}\int_{-a}^{a}x^2dx \leqslant \int_{-a}^{a}\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx \leqslant \frac{M}{2}\int_{-a}^{a}x^2dx=\frac{a^3}{3}M$

(5) 用奇偶性质
$f(x)$奇$\Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f'(x)$偶$\Rightarrow f'(x_0)=f'(-x_0)$

E.g (2013)
已知：假设f(x)奇函数，在$[-1,1]$上二阶可导，$f(-1)=1$；
证明：$\exists \eta \in (-1,1), f''(\eta)+f'(\eta)=1$;
分析：1)确定点的信息: 因为f(x)是奇函数，所以$f(0)=0$.

2)令$F(x)=f'(x)+f(x)-x$
3)因为f(x)是奇函数,$\Rightarrow f'(x)$偶$\Rightarrow f'(1)=f'(-1)$,所以$f(-1)=-f(1)=-1. F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(-1), F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)$,根据罗尔定理可知.

(6) 用几何条件
1) $f(x)$与$g(x)$存在相等的最大值，即$f(a)=g(b)$(假设：$a$为$f(x)$的取最大值的点,$b$为$g(x)$的取最大值的点);

E.g <十八讲>E.g 5.9

1° $a=b \Rightarrow f(a)=g(a)$ //即：在相同的点，取到相同的最大值.

E.g 令$F(x)=f(x)-g(x) \Rightarrow F(a)=0$.

2° $a\neq b \Rightarrow F(a)=f(a)-g(a)>0, F(b)=f(b)-g(b)<0$,根据零点定理$\Rightarrow \exists c\in (a,b), F(c)=0$

2) $f(x)$与$g(x)$交于点$a \Rightarrow f(a)=g(a) \Rightarrow F(a)=f(a)-g(a)=0$;

E.g <十八讲>E.g 5.10

3) $f(x)$与$g(x)$在点$a$有公切线 $\Rightarrow f'(a)=g'(a) \Rightarrow F'(a)=f'(a)-g'(a)=0$

(7) 用行列式

$f(x)=\left|\begin{array}{cccc} 1 & x & 4 \\ 2 & 2x & 7\\ 3 & 3x & 9 \end{array}\right |$

$\Rightarrow f(0)=0,f(1)=0 \Rightarrow f'(\xi)=0$

来源:
https://www.yizhibo.com/l/Kv2NzbQ4ZyPMrpUb.html
https://www.yizhibo.com/l/BSMb91f9PH-QT0DF.html