定义

提出者:

[a,b][a,b]区间内,nn等分(nn\to \infty\Rightarrow每份的底为ban \frac{b-a}{n};

原文是说在[a,b][a,b]内无限切分,但是为了方便考试,所以我们只考虑无穷等分的情况;

② 一般取划分的每块的右端点的高 \Rightarrow每份的高为f(a+bani) f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i);

小结:

1、每份的长和宽:

2、limni=1n[f(a+bani)ban]=abf(x)dxlim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i) \cdot \frac{b-a}{n}] = \int_{a}^{b}{f(x)}dx

常见考题的形式:
2.1、基本形(a=0,b=1a=0,b=1)
limni=1n[f(0+10ni)10n]=01f(x)dxlim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(0+\frac{1-0}{n}\cdot i) \cdot \frac{1-0}{n}] = \int_{0}^{1}{f(x)}dx
\Rightarrow 记住该形式:limni=1n[f(in)1n]=01f(x)dxlim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{n}] = \int_{0}^{1}{f(x)}dx
上面的公式即:f(in)f(x)inxf(\frac{i}{n}) \to f(x) \Rightarrow \frac{i}{n} \to x , 1ndx\frac{1}{n} \to dx
所以要凑出上面的in\frac{i}{n},要保证nnii的次数相同!!!

2.1、变量形(a=0,b=xa=0,b=x)
\Rightarrow 记住该形式:limni=1n[f(xni)xn]=0xf(t)dtlim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(\frac{x}{n}\cdot i) \cdot \frac{x}{n}] = \int_{0}^{x}{f(t)}dt

3、基本形
3.1、能直接凑出in\frac{i}{n}的形式
n+in+i
n2+i2n^2+i^2
n2+nin^2+ni
in\frac{i}{n}
3.2 如果凑不成in\frac{i}{n},则直接使用放缩法;
① 直接利用夹逼准则;
② 或放缩后再凑in\frac{i}{n}