数列极限之定义法

定义

提出者：

① $[a,b]$区间内,$n$等分（$n\to \infty$） $\Rightarrow$每份的底为$\frac{b-a}{n}$;

原文是说在$[a,b]$内无限切分，但是为了方便考试，所以我们只考虑无穷等分的情况；

② 一般取划分的每块的右端点的高 $\Rightarrow$每份的高为$f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)$;

小结:

1、每份的长和宽：

2、$lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i) \cdot \frac{b-a}{n}] = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$

常见考题的形式：
2.1、基本形($a=0,b=1$)
$lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(0+\frac{1-0}{n}\cdot i) \cdot \frac{1-0}{n}] = \int_{0}^{1}{f(x)}dx$
$\Rightarrow$ 记住该形式：$lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{n}] = \int_{0}^{1}{f(x)}dx$
上面的公式即：$f(\frac{i}{n}) \to f(x) \Rightarrow \frac{i}{n} \to x$ , $\frac{1}{n} \to dx$
所以要凑出上面的$\frac{i}{n}$,要保证$n$和$i$的次数相同！！！

2.1、变量形($a=0,b=x$)
$\Rightarrow$ 记住该形式：$lim_{n\to \infty}{\sum_{i=1}^{n}}[f(\frac{x}{n}\cdot i) \cdot \frac{x}{n}] = \int_{0}^{x}{f(t)}dt$

3、基本形
3.1、能直接凑出$\frac{i}{n}$的形式
① $n+i$
② $n^2+i^2$
③ $n^2+ni$
④ $\frac{i}{n}$
3.2 如果凑不成$\frac{i}{n}$,则直接使用放缩法；
① 直接利用夹逼准则；
② 或放缩后再凑$\frac{i}{n}$；