什么是阶? - 高数 ★

阶的概念：★

阶的问题，本质问题就是讨论从分子$f(x)$和分母$g(x)$趋向于狗(例如：$0$或$infty$)的速度，谁快谁慢的问题；

1. 口语描述：

在x的某种趋向下, 如果$f(x)$比上$g(x)$, 这2个函数可以视为$frac{0}{0}$型, 结果会有3种情况：
第1种情况： 非零常数$C$ //分母和分子在趋向0的速度上视为相同（肉眼上无法区分了）；
第2种情况： $0$ //分母比分子趋向0的速度快； 简记：分子高阶；
第3种情况： $infty$ //分母比分子趋向0的速度慢； 简记：分子低阶；

注:$infty$在考研的范围内，叫做不存在；

2. 公式描述：

3. 书面描述：

注：鉴于日常习惯，同时也为了和视频教程保持一致，我将书上的两个函数$alpha(x)$和$eta(x)$调整为了$f(x)$和$g(x)$;

4. 小结

假设，在$x$的某种趋向下这里指$x o 0$:
阶：分子$f(x)$和分母$g(x)$比较，看一看分子$f(x)$和分母$g(x)$趋近于0的速度谁快谁慢；
同阶：分子$f(x)$和分母$g(x)$比较，分子$f(x)$和分母$g(x)$趋近于0的速度差不多；
高阶：分子$f(x)$和分母$g(x)$比较，分子$f(x)$趋近于0的速度比分母$g(x)$趋近于0的速度要快；
低阶：分子$f(x)$和分母$g(x)$比较，分子$f(x)$趋近于0的速度比分母$g(x)$趋近于0的速度要慢；

举例：

1. 同阶

2. 高阶

$lim_{x o 0}{frac{x^2}{x^1}} = 0$

从上面的图可以知道：在$x o 0^+$的过程中，显然$x^2$趋近于0的速度比$x^1$趋近于0的速度要快；

3. 低阶

$lim_{x o 0}{frac{x^1}{x^2}} = infty$

图还是上面的图，显然在$x o 0^+$的过程中，显然$x^1$趋近于0的速度比$x^2$趋近于0的速度要慢；

4.小结

相对于分母而言：
高阶：分子趋近于0的速度快；
低阶：分子趋近于0的速度慢；

比阶的意义：

在高数中，通过极限状态下的比阶(即：$lim_{x o 0}{frac{f(x)}{g(x)}}$)来表达谁大谁小(即：分子大，还是分母小)；